进击的巨人

近乎崩盘的曼联何去何从？_我的网站

绅士的品格

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没有最惨，只有更惨。相信这是看完昨日凌晨曼联比赛的人最直观的感受，客场0比4被布伦特福德“羞辱”，这让曼联瞬间成为体育热搜榜“榜一大哥”，一连串尴尬到耻辱的纪录被打破。滕哈格自己都说，真想把这11名首发球员都换掉。但换了他们曼联能用谁呢？赛季之初就遭遇这样的窘境，恐怕留给荷兰人的时间不多了。悬而未决 87 年的经典数学难题——雅可比猜想（Jacobian Conjecture），可能被一个只有三行公式的反例推翻了。首轮不敌布莱顿之后，曼联全队上下的压力本就不小，一方面来说，主场输球且踢得浑浑噩噩，这本身就不太说得过去，另外一方面，有关转会方面的困扰仍未散去，比如C罗到底走不走，德容和拉比奥特到底来不来。 7 月 20 日，数学家、Anthropic 研究人员 Levent Alpöge 在社交平台 X 公布了一个三元多项式映射。难怪有媒体分析表示，目前尚处在“内忧外患”之中的曼联恐怕近期难有上佳的发挥，但殊不知，这失利过于惨痛了。它满足了雅可比猜想要求的前提条件，却违背了猜想的结论，因此构成了一个可能推翻整个猜想的反例。更引人关注的是，Alpöge 在帖子中将这一反例归功于 Anthropic 最新发布的 AI 模型 Claude Fable 5。20分钟就被对手梅开二度，同时门将还出现“黄油手”，这种情况下曼联半场0比4落后，似乎是可以理解的。他还表示，是朋友 Akhil 首先向模型提出这一问题，而 Fable 5 则在他们观看世界杯决赛期间持续搜索，最终找到了这一反例构造。这绝不完全是技战术层面的失误，而是球队在心理层面已经被对手打崩，这还是在C罗以及拉什福德都重新回到首发的前提下。

B | （来源：X）消息发布后，数学界迅速展开核验。这样的“红魔”都能被对手踢得溃不成军，半场比赛就缴械投降，不知道荷兰人还能有什么灵丹妙药来治疗一下病入膏肓的曼联。

滕哈赫是1921年来，首位遭遇开局2连败的曼联主帅；布伦特福德成为英超历史上，第3支在半场就打入曼联4球的球队。斯坦福大学数学系助理教授 Jared Duker Lichtman 转发称这一结果“相当惊人”；MathOverflow 很快收录了相关讨论，不少研究者还利用 Wolfram Alpha、SymPy 等工具进行了独立计算。此前的两队是热刺(2020年10月)和利物浦(2021年10月)；上次曼联在顶级联赛35分钟就丢掉4球，还要追溯到1990年5月2日，当时他们客场对阵诺丁汉森林，25分钟就0比4落后；曼联自1960-1961赛季以来，首次在顶级联赛前2场就丢掉6球以上。目前，最关键的两项验证：雅可比行列式是否恒为 −2，以及三个不同点是否确实映射到同一点，均已通过公开计算验证。如果后续没有发现新的漏洞，这将意味着：1939 年提出的雅可比猜想在三维情形下不成立，并可进一步推出其在所有三维及以上维数下均不成立；而二维情形仍然保持开放。

C | 这些数字中，还有一个有点令人哭笑不得。被称为“民科坟场”的雅可比猜想雅可比猜想由德国数学家奥特－海因里希·凯勒（Ott-Heinrich Keller）于 1939 年提出，讨论的是一个看似简单、却困扰数学界近九十年的问题：什么时候，一个多项式映射一定能够"倒推"回原来的函数？图｜海因里希·凯勒（左）（来源：Wikipedia）理解这个猜想，可以先想象一张橡胶膜。

D | 曼联现在排名英超垫底。

E | 上一次曼联在英超垫底还是在1992年8月，当时他们在开赛后首轮1比2输给谢菲尔德联队，第二轮又3球输给埃弗顿，在22队中排在最后，但那个赛季曼联最终获得了首届英超联赛的冠军，20年之后，曼联再次上演类似的剧情，那么赛季结束时曼联的排名会是第几呢？不管几个月后最终的排名会是多少，至少现在，曼联是垫底的队伍，滕哈格作为第一责任人，自然是脱不了干系，荷兰人说：“球队只有团结在一起，才能解决目前的问题。

F | 如果局部看，每一小块都没有被撕裂或压扁，人们很自然会问：整张膜会不会在别的地方折叠起来，让两个不同的位置重合？数学里的情况与此类似。教练必须要给球员信念，球员自己也要有信念才行。这场比赛布伦特福德球员更具饥渴感，对方从一开始就做好了准备。我半场换3人是为了给球队注入新鲜血液，但如果有可能，真想把其他8人也换了。对于多变量多项式映射，如果它在每一个局部都满足一种“没有折叠”的条件，也就是雅可比行列式始终等于同一个非零常数。

G | 那么它是否一定在整体上也是一一对应的？它的逆映射又是否仍然是一个多项式？这就是雅可比猜想。它的陈述只有短短几句话，却异常难以证明。不少数学研究者戏称它为“crank graveyard”——“民科坟场”。

H | 球队犯下不少错误，很多错误不应该犯。许多人被它吸引，最终却陷入漫长而徒劳的推导之中。著名华人数学家张益唐，就曾把整个博士阶段投入到这个问题。目前的情况是上赛季的延续，球队必须尽快做出改变。

I | ” 此役曼联全队发挥不佳，在这当中最郁闷的是首发出场的C罗，本就想要离队的“总裁”又在客场遭遇一场惨败，或许这将加速他离队的进程，一个有意思的事出现在赛后，葡萄牙人离场后只与曼联教练组简单进行击掌，没与滕哈赫握手和进行交流，直接走向了更衣室。文/本报记者张昆龙

。1991 年，他在普渡大学完成博士论文《雅可比猜想与域扩张的次数》，导师莫宗坚是国际上研究雅可比猜想最重要的学者之一。

J | 张益唐的工作推进了这一研究方向，却并没有解决猜想本身。

K | 后来，他离开代数几何，转向解析数论，并最终因证明有界素数间隔而闻名世界；雅可比猜想，则依然留在开放问题名单中。 1998 年，菲尔兹奖得主 Stephen Smale 将其列入著名的《下一个世纪的数学问题》（Mathematical Problems for the Next Century）第 16 题，认为它的解决将对数学发展产生重要影响。

L | 过去近 90 年里，一维情形早已证明成立，二维至今仍未解决，而三维及更高维也始终没有答案。

M | 由于这一猜想要求所有维数都成立，因此，只要在任意一个维数找到反例，整个猜想就会被推翻。三个点，击穿一个猜想而此次，Alpöge 公布的是一个从三维复空间到三维复空间的多项式映射：直接计算可知，这个映射的雅可比行列式恒等于 −2。由于 −2 是一个非零常数，因此它完全满足雅可比猜想的前提条件。

N | 然而，当把三个不同的点分别代入这一映射时，得到的结果却都是同一个点：这足以构成反例。原因很简单：如果多个不同的输入对应同一个输出，那么映射就不是单射。换句话说，当已知输出时，无法唯一确定原来的输入，因此它不可能拥有逆映射，更不可能拥有由多项式组成的逆映射。这与雅可比猜想的结论正面冲突。这个反例还具有极强的可核查性。

o | 许多重大数学成果往往需要专家花费数月甚至数年时间，逐页检查上百页证明；而这个结果的核心，仅涉及两项有限的代数计算：一是验证雅可比行列式恒等于非零常数，二是验证三个不同的点确实映射到了同一个点。截至目前，这两项计算均已得到公开复核。

p | 研究者 Zihan Zhang 给出了独立的 SymPy 验证脚本，并指出，只需将其中一个输出坐标乘以 −1/2，就可以把雅可比行列式规范化为猜想中更常采用的常数 1，而这不会改变反例的本质。

q | 如果这一反例最终成立，它不仅推翻三维情形，也意味着所有更高维情形都不再成立。因为只需在三维反例后增加若干保持不变的坐标，就可以直接构造出任意更高维的反例。不过，二维雅可比猜想仍然是一个独立的开放问题值得补充的是，Levent Alpöge 并不是从 AI 领域半路进入数学，而是一位长期从事数论与算术几何研究的职业数学家。近年来，他才加入 Anthropic，从事人工智能研究。他本科毕业于哈佛大学，主修数学，并获得物理学硕士学位；随后在剑桥大学完成数学高级研究课程。2020 年，他在普林斯顿大学获得数学博士学位，导师是菲尔兹奖得主 Manjul Bhargava。图｜Levent Alpöge（来源：Quanta Magazine）大型语言模型兴起后，Alpöge 开始转向人工智能。他曾在个人主页写道，GPT-4 让他认为人工智能是“人类创造过的最有意思的东西”，因此重新回到计算机科学领域，希望增加这场变化产生积极结果的可能性。根据目前公开的信息，这次发现的大致过程是：Akhil 提出问题，Alpöge 将其交给 Claude Fable 5 进行探索，模型最终给出了具体的反例构造；随后，Alpöge 公开了这一构造，数学界再通过人工推导以及 Wolfram Alpha、SymPy 等工具进行了独立验证。这一过程与 AI 替数学家写出一份传统意义上的数学证明有所不同。对于否定一个猜想而言，并不需要解释所有可能情况，只需要找到一个满足前提、却违反结论的反例即可。这样的任务天然适合计算探索：模型可以不断尝试构造候选映射、调整参数、检查雅可比条件，再寻找是否会出现不同点映射到同一点的情况。如果这一反例最终得到确认，它带来的意义将十分重大。

r | 因为它展示了一种此前极少出现的研究模式：不是 AI 帮助数学家验证已经存在的思路，而是AI参与寻找一个人类 87 年来始终没有找到的数学对象。

s | 从 AlphaGeometry 解决竞赛题，到 GPT、Gemini 参与证明具体命题，再到这一次可能找到推翻经典猜想的反例，大模型参与数学研究的角色正在发生变化。它开始探索的，不再只是“答案”，而是过去只有数学家才会进入的未知搜索空间。参考链接： 1.https://x.com/leventalpoge 2.https://mathoverflow.net/questions/513387/galois-structure-of-the-new-counterexample-to-the-jacobian-conjecture-an-explic 3.https://www.leventalpoge.com/ 4.https://dataspace.princeton.edu/ 5.https://www.ams.org/prizes-awards/ams-morgan-prize 运营/排版：何晨龙注：封面由 AI 辅助生成。